Lösung gefunden:
Die Gagaset-Telefonanlage verlangt ihrerseits, nur das "mitgelieferte Fax-Kabel" zu verwenden. Bei diesem Kabel sind nur die mittleren beiden Pins verbunden, und außerdem vertauscht. Mit diesem Kabel geht es nun immer (ohne vorheriges Aus- und wieder Einstecken).
Warum es zuvor mit dem Officejet G95 mit derselben Telefonanlage auch mit vieradrigem Kabel ging, ist mir nicht bekannt.
Jetzt ist auch der im Officejet "eingebaute" Fax-Test mit dem Kabel zufrieden. Er meldet lediglich ein Problem mit der Wähltonerkennung. Das Versenden der Faxe ist aber dennoch problemlos möglich.