Hallo GaRo!
Willkommen im HP Forum.
Wenn dein HP DeskJet 3720 von deinem Mac OS 10.7 Lion nicht druckt, so hängt das in diesem Falle mit der Mac OS Version zusammen. Mindestsystemanforderung unter OS X ist OS X 10.9. Mavericks.
In den Gerätespezifikationen zu deinem Drucker kannst du das nachlesen.
Hier sehe ich nur die Möglichkeit, dein Mac OS auf eine unterstützte Version upzudaten.
Gruß
Andreas